模糊函数 | 邢子晗's Blog

介绍

窄带模糊函数

在脉冲雷达和声纳信号处理过程中，模糊函数是传播延迟 $\tau$ 和多普勒频率 $f$ , $\chi(\tau,f)$ 的二维函数。它表示由于接收机匹配滤波器[1]

$\chi(\tau,f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)s^{*}(t - \tau)e^{i2\pi ft}dt$
宽带模糊函数给出的定义为[2] [6]

$WB_{ss}(\tau,\alpha)=\sqrt{|\alpha|}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)s^{*}(\alpha(t - \tau))dt$

其中 $\alpha$ 是接收信号相对于发射信号的时间尺度因子，计算公式为：

$\alpha=\frac{c + v}{c - v}$

实际上宽带模糊函数才是广义形式，因为当介质中的波速远快于目标速度时（这在雷达/声纳中很常见）频率上的这种压缩可通过频率偏移 $f_d = f_c \cdot v/c$ （称为多普勒偏移）来近似。而窄带信号可以用这种近似，于是才得出了窄带模糊函数，可以通过利用 FFT 算法高效地计算。

物理意义

因为模糊度函数与二维傅里叶变换与 Wigner–Ville 分布相关，所以在时频信号处理领域中发挥着关键作用[3]。这种关系是其他时频分布公式化的基础(比如双线性时频分布是通过对模糊域（即信号的模糊度函数）进行二维滤波获得的），这类分布可能更适合所考虑的信号[4]。

此外，模糊分布可以看作是使用信号本身作为窗口函数的信号的短时傅里叶变换。这一观察已被用来在时间-尺度域来定义模糊分布,而不是时间-频率域[5]

代码

窄带模糊函数

参考matlab代码，但是绘图时注意截取或者降采样，否则运算量太大

waveform = phased.RectangularWaveform;
x = waveform();
PRF = waveform.PRF;
[afmag,delay,doppler] = ambgfun(x,waveform.SampleRate,PRF);
contour(delay,doppler,afmag) %这里画的是模糊度图
xlabel("Delay (seconds)")
ylabel("Doppler Shift (hertz)")

宽带模糊函数

以costas序列为例（使用时注意脉冲长度不能过大，否则resample会出现问题）,请原谅，之前给的代码很复杂，改成这样够精简的了……

r=50;b=2;len=7;
c = 1500;                  %参考速度为1500
v_range = 20;              %定义速度范围
r_range = 1000;            %定义距离范围

function [A, vel] = wideband_ambiguity(x1, x2, r, b, len, c, v_range,r_range, fs)
    rs_bsig1 = resample(x1,1,1);        %对信号不进行重采样
    % delay
    N = size(rs_bsig1,2);               %获取重采样的信号大小
    delay = round((r_range/c)*fs);         %TO DO:获取1000m距离
    obsvN = delay+N;                    %obsvN 总的观测的长度
    s_n = [rs_bsig1 zeros(1,obsvN-N)];  %s_n 在原始信号后面补零
    sig = s_n(1:obsvN-delay);           %截取的信号
    bsig_no = [zeros(1,delay) sig];     %对sig添加延迟

    clear obsvN sig N;

    vel_del = c/(r*(b^len-1));          % vel_del 速度分辨率
    vel = 0:vel_del:v_range;               
    vel = [-vel(end:-1:2) vel];         % vel 速度范围：其中存储的是不同的速度，包括正负值
    eta = 1+(vel/c);                    %获取(1+v/c)的分子和分母
    [p,q]= rat(eta);                    

    ambig1 = cell(1, length(vel));      %初始化两个cell数组

    for i =1:length(vel)  % 遍历vel速度数组
        re_samp_bsig1 = resample(x2,p(i),q(i));     % p>q expansion and p<q compression
    
    % --------在时域上进行相关处理----------------------------------- 
        if length(re_samp_bsig1)>length(bsig_no)   %如果重采样后的信号长度大于延迟信号，补零以匹配长度。
            na = length(re_samp_bsig1)-length(bsig_no);
            bsig_no= [bsig_no zeros(1,na+1)];
        end
        ambig1{i}=  abs(matchFilter(bsig_no,re_samp_bsig1,'none'));
        nl = length(bsig_no);
        ambigh1(1:(nl),i) =(ambig1{i});
    end

    Max1= max(max(ambigh1));
    A=(abs(ambigh1 ./ Max1));

%重采样模糊函数
%% resample the ambiguity funnction;
    for i =1:length(vel)
        re_ambigh1(:,i)=resample(A(:,i),1,6.);

    end
    A=re_ambigh1;
end

参考文献：

Woodward P.M. Probability and Information Theory with Applications to Radar, Norwood, MA: Artech House, 1980.
^ Jump up to:a b Weiss, Lora G. “Wavelets and Wideband Correlation Processing”. IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994
^ E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, “Time-frequency feature representation using energy concentration: An overview of recent advances,” Digital Signal Processing, vol. 19, no. 1, pp. 153-183, January 2009.
^ B. Boashash, editor, “Time-Frequency Signal Analysis and Processing – A Comprehensive Reference”, Elsevier Science, Oxford, 2003; ISBN 0-08-044335-4
^ Shenoy, R.G.; Parks, T.W., “Affine Wigner distributions,” IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP-92., pp.185-188 vol.5, 23-26 Mar 1992, doi: 10.1109/ICASSP.1992.226539
^ L. Sibul, L. Ziomek, “Generalised wideband crossambiguity function”, IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239–1242.