序列模型与循环神经网络

序列

介绍

现实生活中,有许多数据并不是像图片一样,看一眼就能了解全部信息.

举个简单的例子:

一句话中,词语的出现顺序可能也会影响这句话的信息量:**“狗咬人”所带来的信息远没有“人咬狗”**带来的信息量大……

序列数据已经存在了人们的生活中当中:

音乐、语言和视频
地震:大地震后,往往伴随小的余震

如何对序列进行统计

上述提到了信息量,而信息量这个词往往就和概率相关了

在时间 $t$ 观察到 $x_t$ ，那么得到 $T$ 个不独立的随机变量 $(x_1,...x_T) - p(\bold x)$
使用条件概率展开 $p(a,b)=p(a)p(b|a)=p(b)p(a|b)$

所以 $p(\bold x)$ 就可以写为条件概率的乘积,如下图所示

$f(\cdot)$ 表示训练的模型

A.马尔可夫

当前数据只跟过去有限个数据相关(概率论学过,此处不再赘述)

B.潜变量模型

循环神经网络

我们决定以潜变量模型为理论基础，搭建一个网络。与多层感知机不同的是，每次隐变量发生更新，每次的输出取决于当下输出和前一时间的隐变量

这张图很好的展示了循环神经网络的工作原理，第4层就是循环神经网络层

如图所示,第四层网络的输入不仅有上一网络的输出,还有上一次计算时自己本身的输出

困惑度（perplexity）

衡量一个语言模型的好坏可以用平均交叉熵

$\pi=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n-\log p(x_t|x_{t-1},...)$

p是模型的预测概率，xt是真实值，困惑度就是$ exp(\pi) $

梯度裁剪

一种防止梯度爆炸的方式，假设所有层的梯度为g，如果g的长度超过θ，那么长度将会被拉回θ

$\mathbf{g}\leftarrow\min\left(1,\frac{\theta}{\|\mathbf{g}\|}\right)\mathbf{g}$

代码

这里的代码比较复杂,所以没有全部放入文章中建议认真看

https://courses.d2l.ai/zh-v2/assets/notebooks/chapter_recurrent-neural-networks/sequence.slides.html#/

使用正弦函数和一些可加性噪声来生成序列数据，时间步为 1,2,…,1000

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

T = 1000
time = torch.arange(1, T + 1, dtype=torch.float32)
x = torch.sin(0.01 * time) + torch.normal(0, 0.2, (T,))
d2l.plot(time, [x], 'time', 'x', xlim=[1, 1000], figsize=(6, 3))

将数据映射为数据对 yt=xtyt=xt 和 xt=[xt−τ,…,xt−1]

tau = 4
features = torch.zeros((T - tau, tau))
for i in range(tau):
    features[:, i] = x[i:T - tau + i]
labels = x[tau:].reshape((-1, 1))

batch_size, n_train = 16, 600
train_iter = d2l.load_array((features[:n_train], labels[:n_train]),
                            batch_size, is_train=True)

使用一个相当简单的结构：只是一个拥有两个全连接层的多层感知机

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.xavier_uniform_(m.weight)

def get_net():
    net = nn.Sequential(nn.Linear(4, 10), nn.ReLU(), nn.Linear(10, 1))
    net.apply(init_weights)
    return net

loss = nn.MSELoss()

训练模型

def train(net, train_iter, loss, epochs, lr):
    trainer = torch.optim.Adam(net.parameters(), lr)
    for epoch in range(epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.backward()
            trainer.step()
        print(f'epoch {epoch + 1}, '
              f'loss: {d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss):f}')

net = get_net()
train(net, train_iter, loss, 5, 0.01)

模型预测下一个时间步

onestep_preds = net(features)
d2l.plot(
    [time, time[tau:]],
    [x.detach().numpy(), onestep_preds.detach().numpy()], 'time', 'x',
    legend=['data', '1-step preds'], xlim=[1, 1000], figsize=(6, 3))

进行多步预测

multistep_preds = torch.zeros(T)
multistep_preds[:n_train + tau] = x[:n_train + tau]
for i in range(n_train + tau, T):
    multistep_preds[i] = net(multistep_preds[i - tau:i].reshape((1, -1)))

d2l.plot([time, time[tau:], time[n_train + tau:]], [
    x.detach().numpy(),
    onestep_preds.detach().numpy(),
    multistep_preds[n_train + tau:].detach().numpy()], 'time', 'x',
         legend=['data', '1-step preds',
                 'multistep preds'], xlim=[1, 1000], figsize=(6, 3))

更仔细地看一下k步预测

max_steps = 64

features = torch.zeros((T - tau - max_steps + 1, tau + max_steps))
for i in range(tau):
    features[:, i] = x[i:i + T - tau - max_steps + 1]

for i in range(tau, tau + max_steps):
    features[:, i] = net(features[:, i - tau:i]).reshape(-1)

steps = (1, 4, 16, 64)
d2l.plot([time[tau + i - 1:T - max_steps + i] for i in steps],
         [features[:, (tau + i - 1)].detach().numpy() for i in steps], 'time',
         'x', legend=[f'{i}-step preds'
                      for i in steps], xlim=[5, 1000], figsize=(6, 3))

https://courses.d2l.ai/zh-v2/assets/notebooks/chapter_recurrent-neural-networks/rnn-concise.slides.html#/

import torch
from torch import nn
from torch.nn import functional as F
from d2l import torch as d2l

batch_size, num_steps = 32, 35
train_iter, vocab = d2l.load_data_time_machine(batch_size, num_steps)

定义模型

1 2	num_hiddens = 256 rnn_layer = nn.RNN(len(vocab), num_hiddens)

使用张量来初始化隐藏状态

1 2	state = torch.zeros((1, batch_size, num_hiddens)) state.shape

通过一个隐藏状态和一个输入，我们可以用更新后的隐藏状态计算输出

1
2
3

X = torch.rand(size=(num_steps, batch_size, len(vocab)))
Y, state_new = rnn_layer(X, state)
Y.shape, state_new.shape

我们为一个完整的循环神经网络模型定义一个RNNModel类

class RNNModel(nn.Module):
    """循环神经网络模型。"""
    def __init__(self, rnn_layer, vocab_size, **kwargs):
        super(RNNModel, self).__init__(**kwargs)
        self.rnn = rnn_layer
        self.vocab_size = vocab_size
        self.num_hiddens = self.rnn.hidden_size
        if not self.rnn.bidirectional:
            self.num_directions = 1
            self.linear = nn.Linear(self.num_hiddens, self.vocab_size)
        else:
            self.num_directions = 2
            self.linear = nn.Linear(self.num_hiddens * 2, self.vocab_size)

    def forward(self, inputs, state):
        X = F.one_hot(inputs.T.long(), self.vocab_size)
        X = X.to(torch.float32)
        Y, state = self.rnn(X, state)
        output = self.linear(Y.reshape((-1, Y.shape[-1])))
        return output, state

    def begin_state(self, device, batch_size=1):
        if not isinstance(self.rnn, nn.LSTM):
            return torch.zeros((self.num_directions * self.rnn.num_layers,
                                batch_size, self.num_hiddens), device=device)
        else:
            return (torch.zeros((self.num_directions * self.rnn.num_layers,
                                 batch_size, self.num_hiddens),
                                device=device),
                    torch.zeros((self.num_directions * self.rnn.num_layers,
                                 batch_size, self.num_hiddens),
                                device=device))

用一个具有随机权重的模型进行预测

device = d2l.try_gpu()
net = RNNModel(rnn_layer, vocab_size=len(vocab))
net = net.to(device)
d2l.predict_ch8('time traveller', 10, net, vocab, device)

使用高级API训练模型