介绍

本人最近受够代码了，下定决心来点不一样的，do some math（如果能在下方打赏就更好了，码文不易，希望能赞助 买奶茶钱 买可乐钱）

恒虚警率这个约束是经典符合假设检验中的标准要求，随着科技进步，机器学习这一方法已经开始被人们使用在各个领域

这篇文章的主要内容：

  • 定义了一个可以用于贝叶斯和机器学习的CFAR检测器框架：将CFAR约束应用于贝叶斯最优检测器，可以用于任意复合假设检验

  • 提出learning-based CFAR检测器的性能门限，证明CFAR-constrained Bayes检测器渐进收敛于GLRT

  • 提出了CFARnet，一种深度学习的恒虚警检测

  • 将CFARnet与GLRT进行性能对比

    • 相同性能下：CFARnet计算复杂度<GLRT

    • GLRT表现不佳时：CFARnet仍有很好的性能，且仍能保持恒虚警特性

检测器

经典检测器

似然比检验（Likelihood Ratio Test,LRT)[1]：

TLRT(x)=2log⁡p(x∣z=z1)p(x∣z=z0)T_{LRT}(\boldsymbol{x}) = 2 \log \frac{p(\boldsymbol{x} \mid z = z_1)}{p(\boldsymbol{x} \mid z = z_0)}

（此处渲染器出问题了，看图片吧）

似然比检验是一种统计检验方法，用于比较两个统计模型的拟合优度。在这个问题中，我们有一个统计量 $ T_{LRT}(\boldsymbol{x}) $

$ p(\boldsymbol{x}; \boldsymbol z = \boldsymbol z_1) $ 是在参数 $ \boldsymbol z = \boldsymbol z_1 $ 下的似然函数值，而 $ p(\boldsymbol{x}; \boldsymbol z = \boldsymbol z_0) $ 是在参数 $ \boldsymbol z = \boldsymbol z_0 $ 下的似然函数值。这个统计量用于检验零假设 $ H_0: \boldsymbol z = \boldsymbol z_0 $ 还是对立假设 $ H_1: \boldsymbol z = \boldsymbol z_1 $

似然比检验统计量 $ T_{LRT}(\boldsymbol{x}) $ 的值越大，表示在 $ \boldsymbol z = \boldsymbol z_1 $ 下的似然函数值比在 $ \boldsymbol z = \boldsymbol z_0 $ 下的似然函数值大得多，因此我们有更强的证据拒绝零假设 $ H_0 $。

在实际应用中，我们通常会将 $T_{LRT}(\boldsymbol{x}) $ 与一个临界值进行比较，如果 $ T_{LRT}(\boldsymbol{x}) $ 大于这个临界值，我们就拒绝零假设 $ H_0 $ ,接收备择假设 $ H_1 $。

广义似然比检验(Generalized Likelihood Ratio Test,GLRT)[1]：

TGLRT(x)=2log⁡max⁡z∈Z1p(x;z)max⁡z∈Z0p(x;z).T_{\mathrm{GLRT}}(\mathbf{x}) = 2\log \frac{\max_{\mathbf{z}\in\mathcal{Z}_1} p(\mathbf{x};\mathbf{z})}{\max_{\mathbf{z}\in\mathcal{Z}_0} p(\mathbf{x};\mathbf{z})}.

GLRT是最流行的方法，是一种很接近性能门限的方法，但是也存在缺点，因为分子和分母都有max这一处理，设计大规模、非线性以及非凸优化处理，计算复杂度比较高

GLRT is probably the most popular solution to composite hypothesis testing. It gives a simple recipe that performs well under asymptotic conditions. Its main downsides are that it is sensitive to deviations from its theoretical model, it is generally sub-optimal under finite sample settings, and it may be computationally expensive as both the numerator and denominator of the GLRT involve optimization problems that may be large-scale, non-linear and non-convex. Therefore, there is an ongoing search for flexible, robust, and low-cost alternatives.

贝叶斯检测器

贝叶斯检测器（Bayesian LRT）

错误概率：

PrERR=Pr(y^≠y)=∑y=01∫1y^≠yp(x,y,z)dxdydz\text{Pr}_{\text{ERR}} = \text{Pr}(\hat{y} \neq y) = \sum_{y = 0}^{1} \int \mathbf{1}_{\hat{y} \neq y} p(\mathbf{x}, y, \mathbf{z}) d\mathbf{x} d y d\mathbf{z}

最小化错误概率[2]，就能到得到

TBLRT(x)=2log⁡p1(x)p0(x)=2log⁡∫z∈Z1p(x;z)p(z)dz∫z∈Z0p(x;z)p(z)dzγBLRT=2log⁡Pr(y=0)Pr(y=1)T_{\text{BLRT}}(\mathbf{x}) = 2 \log \frac{p_{1}(\mathbf{x})}{p_{0}(\mathbf{x})} = 2 \log \frac{\int_{\mathbf{z} \in \mathcal{Z}_{1}} p(\mathbf{x} ; \mathbf{z}) p(\mathbf{z}) d\mathbf{z}}{\int_{\mathbf{z} \in \mathcal{Z}_{0}} p(\mathbf{x} ; \mathbf{z}) p(\mathbf{z}) d\mathbf{z}}\\ \gamma_{\text{BLRT}} = 2 \log \frac{\text{Pr}(y = 0)}{\text{Pr}(y = 1)}

本文提出的检测器-CFAR贝叶斯(CLRT)

CLRT:{min⁡T,γPr⁡ERR(T,γ)s.t.T is CFAR\text{CLRT} : \left\{ \begin{array}{ll} \min_{T,\gamma} & \Pr_{\text{ERR}}(T, \gamma) \\ \text{s.t.} & T \text{ is CFAR} \end{array} \right.

y=0:zr=zr0,zny=1:zr≠zr0,zny=0: z_{r}=z_{r_0},z_n \\ y=1: z_{r}\neq z_{r_0},z_n

在没有复杂的参数干扰时，BLRT和GLRT是等价的，其中， $ z_r $ ∈ ℝᵈʳ 是一个判别参数， $ z_n $ ∈ ℝᵈⁿ 是一个干扰参数。我们用 $ z_{𝑟_0} $ 和 $ z_{𝑟_1} $ 分别表示在 𝑦 = 0 和 𝑦 = 1 时 $ z_r $ 的真实值。

文章作者的发现：

在满足以下条件

  • 数据由许多来自真实统计模型的独立同分布（i.i.d）样本组成：

    p(x;zr,zn)=∏i=1Np(xi;zr,zn),N→∞p(x;z_r,z _n)=∏_{i=1}^N p(x_i;z_r,z_n),N→∞

  • 信号是弱的：

    ∥zr1−zr0∥=sN∥\bold z_{r_1}− \bold z_{r_0}∥= \frac {s}{\sqrt{N}}

  • 未知参数的最大似然估计量（ML estimators）是统计有效的，并达到它们的渐近性能

有两个发现：

TBLRT(x)→TGLRT(x)+func(zr0,zn)T_{BLRT}(\bold x)\to T_{GLRT}(\bold x)+func(\bold z_{r_0},\bold z_n)

GLRT是CLRT的一种变形[3]

基于学习的检测器

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我们决定将理论用于实际，提出一个机器学习框架，使其性能近似于上述理论

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参考文献：

[1] S.M. Kay, Fundamentals of statistical signal processing: Detection theory, in: Fundamentals of Statistical SI, Prentice-Hall PTR, 1998.

[2] David de la Mata-Moya, Maria Pilar Jabato-Ananes, Jaime Martin de Nicolas, Manuel Rosa-Zurera, Approximating the Neyman-Pearson detector with 2C-SVMS: application to radar detection, Signal Process. 131 (2017) 364-375.

[3] Pia Addabbo, Dario Benvenuti, Goffredo Poggi, Gastone Ciuti, Danilo Orlando, An application of artificial intelligence to adaptive radar detection using raw data, in: 2023 IEEE Radar Conference, RadarConf23, IEEE, 2023, pp. 1-6.

[4] Tzvi Diskin, Yiftach Beer, Uri Okun, Ami Wiesel,CFARnet: Deep learning for target detection with constant false alarm rate,Signal Processing,Volume223,2024,109543,ISSN 0165-1684